On the Influence of Multiplication Operators on the Ill-Posedness of Inverse Problems

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations Bx = y in Hilbert spaces X =Y = L2(0,1), where B may be decomposed into a compact linear integral operator J with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator M. This case occurs for example for nonlinear operator equations F(x) = y, where F = N ◦J. Then the local degree of ill-posedness is investigated via the Fréchet derivative in x0 ∈ D(F) which has the form F ′(x0) = M ◦ J providing the situation described above. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of F ′(x0) we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of F ′(x0) = M ◦ J. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen der Form Bx = y in Hilberträumen X = Y = L2(0,1), wobei B als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators J mit bekannter Abklingrate der Singulärwerte und eines Multiplikationsoperators M dargestellt werden kann. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen F(x) = y, wobei F = N ◦ J. Dann wird der lokale Inkorrektheitsgrad über die Fréchet-Ableitung in x0 ∈ D(F) bestimmt, welche mit F ′(x0) = M ◦ J die oben beschriebene Form hat. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Möglichkeiten und Grenzen der Analyis für diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansätze für die Bestimmung der Singulärwerte von F ′(x0) liefern das Ergebnis, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikatorfunktionen nicht beeinflusst wird. Es wird sogar ein Zusammenhang gefunden, wie diese Multiplikationsoperatoren die Singulärwerte von F ′(x0) = M ◦ J beeinflussen. Schließlich werden noch die Möglichkeiten der Tikhonov Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.